PERTEMUAN MINGGU 2 BILANGAN REAL DAN PERTIDAKSAMAAN

BILANGAN REAL
Bilangan real dapat di bagi menjadi 2 yaitu bilangan rasional dan irasional

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b di mana a, b bilangan bulat dan b tidak sama dengan 0. di mana batasan dari bilangan rasional adalah mulai dari selanga (-∞, ∞).

Bilangan bisa dikatakan dapat dibagi menjadi 2 sekup besar yaitu bilangan rasional dan bilangan irasional. Bila kita mengatakan bilangan rasional berarti di dalamnya sudah mencakup bilangan: bilangan bulat, bilangan asli, bilangan cacah, bilangan prima dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional.

Contoh dari bilangan rasional:

Jika a/b = c/d maka, ad = bc.

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}.}$

${\displaystyle -({\frac {a}{b}})={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}.}$

${\displaystyle ({\frac {a}{b}})^{-1}={\frac {b}{a}}{jika}a\neq 0.}$

Dalam matematika, bilangan irasional adalah bilangan riil yang tidak bisa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Dalam hal ini, bilangan irasional tidak bisa dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol. Jadi bilangan irasional bukan merupakan bilangan rasional. Contoh yang paling populer dari bilangan irasional adalah bilangan π, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, dan bilangan e.

Bilangan π sebetulnya tidak tepat, yaitu kurang lebih 3.14, tetapi

= 3,1415926535.... atau

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510...

Untuk bilangan ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$:

= 1,4142135623730950488016887242096.... atau

= 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73798..

dan untuk bilangan e:

= 2,7182818....

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

1. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangidengan bilangan yang sama

Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

2. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

a.c < b.c

a/b < b/c

3. tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

a.c > b.c

a/c > b/c

4. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a² < b²

Pertidaksamaan Kuadrat

→ Variabelnya berpangkat 2

Penyelesaian:

1. Ruas kanan dibuat menjadi nol
2. Faktorkan
3. Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol
4. Gambar garis bilangannya

Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam •

Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °

5. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.

Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda

6. Tentukan himpunan penyelesaian

→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+)

→ jika tanda  pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–)

Contoh:

(2x – 1)² ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7

4x² – 4x + 1 ≥ 5x² – 5x – 3x + 3 – 7

4x² – 4x + 1 – 5x² + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0

–x² + 4x + 5 ≥ 0

–(x² – 4x – 5) ≥ 0

–(x – 5).(x + 1) ≥ 0

Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0

x = 5 atau x = –1

Garis bilangan:

• menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥
• jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif
• karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai negatif
• karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}

Source : 

https://www.google.com/amp/s/aji16tipoltektegal.wordpress.com/2016/11/02/pertidaksamaan-kalkulus/amp/

https://id.m.wikipedia.org/wiki/Bilangan_riil